Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sebuah deret geometri:
U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n
Maka,
U₂/U₁ = U₃/U₂=U₄/U₃ = … Un/Un-1 = r (konstan)
Menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri:
U₃/U₂ = r maka U₃ = U₂. r = a.r.r = ar²
U₄/U₃ = r maka U₄ = U₃. r = a.r².r = ar³ sejalan dengan
Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = ar^n-1.r = ar^n-2+1 = ar^n-1

Jadi Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan Un = ar^n-1,
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geometri

Contoh 1:
Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….
Jawab:
rasio = r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2
a = 1/8
Un = ar^n-1 = 1/8 2^(10-1) = 1/8 . 2⁹ = 2⁶ = 64

Contoh 2:

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
Un = ar^n-1
U₁₁ = 2.2^11-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba


Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan
Sn = a + ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1
r Sn = ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1 + arⁿ (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
Sn – rSn = a – arⁿ
Sn (1-r) = a (1-rⁿ)
Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r)

Jadi Rumus Suku ke-n dari deret geometri dirumuskan Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh 1:
Tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab:
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r) = 1 (1-3⁶) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Contoh 2:

Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing–masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm
Jawab:
u₁ = a = 6
u₇ = ar⁶ = 384
6.r⁶ = 384
r⁶ = 64 => r = 2
Sn = a(r^n-1)/(r-1)
S₇ = 6.(2^(7-1))/(2-1)
     = 6(128-1)/1
      = 762

Pengen lebih bisa?? Silahkan simak video dibawah bro/sist.....

Jika sudah paham silahkan ikuti kuis klik di sini yaa... 
Catatan: "Hasil kuis di print dan dilaporkan"