Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan adalah kumpulan objek-objek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut sampai n suku dinamakan deret.

Barisan aritmatika adalah suatu barisan angka-angka dimana beda = b = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = U₄ – U₃= … = Un – Un–1

Contoh barisan aritmatika:

1     3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 adalah barisan aritmatika dengan beda 4

2     63, 58, 53, 48, … , 3 adalah barisan aritmatika dengan beda -5

 Jika suku pertama/awal suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka rumus suku ke-n barisan aritmatika : Un = a + (n – 1)b

Contoh 1:

Diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …, tentukan suku ke-6 barisan tersebut!

Jawab:

U₆ = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27

Contoh 2:

Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab:

a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh:

    suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

   Un    = a + (n – 1)b

   U₁₀  = 3 + (10 – 1)5

            = 3 + 9 x 5

            = 3 + 45

            = 48

Un   = a + (n – 1)b

        = 3 + (n – 1)5

        = 3 + 5n – 5

        = 5n – 2

b. Misalkan Un  = 198, maka berlaku :

    Un      = 198

    5n – 2 = 198

    5n       = 200

     n        = 40

    Jadi 198 adalah suku ke- 40

Contoh 3:

Banyak kursi pada barisan pertama di gedung bioskop adalah 20. Banyak kursi pada baris di belakangnya 4 buah lebih banyak dari kursi pada garis di depannya. Banyak kursi pada baris ke-15 adalah….

Jawab:

U₁ = 20

U2 = 24

Rumus Un = a + ( n-1 ) b

Diketahui :

 a = 20, b =4, maka

U₁₅ = 20 + (15-1) x 4

       = 20 + 56

       = 76

Jadi Banyak kursi pada baris ke-15 adalah 76 buah

          Deret Aritmatika adalah jumlah dari seluruh suku – suku barisan aritmatika. Bentuk dari Deret Aritmatika adalah U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + … + Un dan dilambangkan dengan Sn.

Sn = U₁ + U₂ + U₃ + ...+ Un
Sn = a    + (a + b) + (a + 2b) + ...+ (Un - 2b) + (Un - b) + Un
Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ...+ (a + 2b) + (a + b) + a
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)+ ...+ (a+Un) + (a+Un)

2 Sn = n (a + Un)

   Sn = n/2 (a + Un)   ingat Un = a + (n-1)b

   Sn = n/2 (a + a + (n-1)b)

   Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

Jadi jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a dan beda dinamakan b , maka rumus suku ke-n deret aritmatika : Sn = n/2 (a + Un)

Contoh 1

Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret!

Jawab:

Diket: a = 4, b = U2 – U1 = 9 – 4 = 5, maka

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

S₂₀ = 20/2 (2(4) + (20-1)5)

      = 10 (8 + 95)

      = 10(103)

      = 1030

Jadi jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut adalah 1030

Contoh 2

Suatu barisan aritmatika dengan suku ke-3 adalah 10 dan suku ke-9 adalah 28. Tentukan jumlah 16 suku pertama dari barisan tersebut!

Jawab:

U₉ = a + 8b = 28

U₃ = a + 2b = 10   

               6b = 18

                 b = 3

U₃ = a + 2b

10 = a + 2 (3)

a = 10 - 6

a = 4

S₁₆ = 16/2 (2(4) + (16 - 1)3)

       = 8 (8 + (15)3)

       = 8 (8 +45)

       = 8 (53)

       = 424

Jadi jumlah 15 suku pertama dari barisan aritmatika di atas adalah 424

Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian pada video berikut guys...

Jika sudah paham silahkan ikuti kuis klik di sini bro....

Catatan: "Hasil kuis di print dan dilaporkan"