Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan adalah kumpulan objek-objek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut sampai n suku dinamakan deret.

Barisan aritmatika adalah suatu barisan angka-angka dimana beda = b = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = U₄ – U₃= … = Un – Un–1

Contoh barisan aritmatika:

1     3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 adalah barisan aritmatika dengan beda 4

2     63, 58, 53, 48, … , 3 adalah barisan aritmatika dengan beda -5

 Jika suku pertama/awal suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka rumus suku ke-n barisan aritmatika : Un = a + (n – 1)b

Contoh 1:

Diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …, tentukan suku ke-6 barisan tersebut!

Jawab:

U₆ = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27

Contoh 2:

Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab:

a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh:

    suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

   Un    = a + (n – 1)b

   U₁₀  = 3 + (10 – 1)5

            = 3 + 9 x 5

            = 3 + 45

            = 48

Un   = a + (n – 1)b

        = 3 + (n – 1)5

        = 3 + 5n – 5

        = 5n – 2

b. Misalkan Un  = 198, maka berlaku :

    Un      = 198

    5n – 2 = 198

    5n       = 200

     n        = 40

    Jadi 198 adalah suku ke- 40

Contoh 3:

Banyak kursi pada barisan pertama di gedung bioskop adalah 20. Banyak kursi pada baris di belakangnya 4 buah lebih banyak dari kursi pada garis di depannya. Banyak kursi pada baris ke-15 adalah….

Jawab:

U₁ = 20

U2 = 24

Rumus Un = a + ( n-1 ) b

Diketahui :

 a = 20, b =4, maka

U₁₅ = 20 + (15-1) x 4

       = 20 + 56

       = 76

Jadi Banyak kursi pada baris ke-15 adalah 76 buah

          Deret Aritmatika adalah jumlah dari seluruh suku – suku barisan aritmatika. Bentuk dari Deret Aritmatika adalah U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + … + Un dan dilambangkan dengan Sn.

Sn = U₁ + U₂ + U₃ + ...+ Un
Sn = a    + (a + b) + (a + 2b) + ...+ (Un - 2b) + (Un - b) + Un
Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ...+ (a + 2b) + (a + b) + a
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)+ ...+ (a+Un) + (a+Un)

2 Sn = n (a + Un)

   Sn = n/2 (a + Un)   ingat Un = a + (n-1)b

   Sn = n/2 (a + a + (n-1)b)

   Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

Jadi jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a dan beda dinamakan b , maka rumus suku ke-n deret aritmatika : Sn = n/2 (a + Un)

Contoh 1

Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret!

Jawab:

Diket: a = 4, b = U2 – U1 = 9 – 4 = 5, maka

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

S₂₀ = 20/2 (2(4) + (20-1)5)

      = 10 (8 + 95)

      = 10(103)

      = 1030

Jadi jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut adalah 1030

Contoh 2

Suatu barisan aritmatika dengan suku ke-3 adalah 10 dan suku ke-9 adalah 28. Tentukan jumlah 16 suku pertama dari barisan tersebut!

Jawab:

U₉ = a + 8b = 28

U₃ = a + 2b = 10   

               6b = 18

                 b = 3

U₃ = a + 2b

10 = a + 2 (3)

a = 10 - 6

a = 4

S₁₆ = 16/2 (2(4) + (16 - 1)3)

       = 8 (8 + (15)3)

       = 8 (8 +45)

       = 8 (53)

       = 424

Jadi jumlah 15 suku pertama dari barisan aritmatika di atas adalah 424

Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian pada video berikut guys...

Jika sudah paham silahkan ikuti kuis klik di sini bro....

Catatan: "Hasil kuis di print dan dilaporkan"

Read More

Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sebuah deret geometri:
U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n
Maka,
U₂/U₁ = U₃/U₂=U₄/U₃ = … Un/Un-1 = r (konstan)
Menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri:
U₃/U₂ = r maka U₃ = U₂. r = a.r.r = ar²
U₄/U₃ = r maka U₄ = U₃. r = a.r².r = ar³ sejalan dengan
Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = ar^n-1.r = ar^n-2+1 = ar^n-1

Jadi Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan Un = ar^n-1,
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geometri

Contoh 1:
Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….
Jawab:
rasio = r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2
a = 1/8
Un = ar^n-1 = 1/8 2^(10-1) = 1/8 . 2⁹ = 2⁶ = 64

Contoh 2:

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
Un = ar^n-1
U₁₁ = 2.2^11-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba


Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan
Sn = a + ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1
r Sn = ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1 + arⁿ (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
Sn – rSn = a – arⁿ
Sn (1-r) = a (1-rⁿ)
Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r)

Jadi Rumus Suku ke-n dari deret geometri dirumuskan Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh 1:
Tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab:
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r) = 1 (1-3⁶) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Contoh 2:

Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing–masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm
Jawab:
u₁ = a = 6
u₇ = ar⁶ = 384
6.r⁶ = 384
r⁶ = 64 => r = 2
Sn = a(r^n-1)/(r-1)
S₇ = 6.(2^(7-1))/(2-1)
     = 6(128-1)/1
      = 762

Pengen lebih bisa?? Silahkan simak video dibawah bro/sist.....

Jika sudah paham silahkan ikuti kuis klik di sini yaa... 
Catatan: "Hasil kuis di print dan dilaporkan"

Read More

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga. Deret geometri tak berhingga merupakan penjumlahan dari : U₁+U₂+U₃+......
atau dapat ditulis a + ar + ar² + ......
Deret geometri tak hingga dengan -1< r < 1, maka rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah:
S_∞= ^a/_(1-r);  dengan a = suku pertama dan r = rasio.

Contoh 1:
Tentukan jumlah tak terhingga deret  64+32+16....

Jawab:

S_∞= ⁶⁴/_(1-(1/2))

    = ⁶⁴/_(1/2)
    = 64.2
    = 128

Contoh 2:

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 5 m di lantai. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian ½ kali tinggi sebelumnya, demikian seterusnya. Carilah jarak yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti!
Jawab:
Kalau memakai rumus biasa, maka caranya adalah :
(i) Jarak yang ditempuh pada waktu turun = 5+⁵/₂+⁵/₄

a = ⁵/₂ ; r = ½ ;
S~ = ^a/_1-r
S~ = ⁵/_1-½
S~ = 10

(ii) Jarak yang ditempuh pada waktu naik = ⁵/₂+⁵/₄+⁵/₈+……

a = ⁵/₂; r = ½ => S~ = ^a/_1-r
S~ = (⁵/₂) / _1-½
S~ = 5

Jadi, jarak yang ditempuh bola tersebut = (10+5) m = 15 m.

Alternatif cara lain:

a = 1; b = 2; t = 5m
maka: jarak tempuh bola = (^b+1/_b-a) × t
= (2+¹/_2-1) × 5
= 3 × 5
= 15 m
Jadi jarak tempuh bola sampai berhenti adalah 15 m.

Untuk menambah wawasan mengenai deret geometri tak hingga lihat video di bawah:

Jika sudah memahami silahkan mengikuti kuis dengan klik di sini
Catatan: "Hasil kuis di print dan dilaporkan"

Read More

Kuis Barisan dan Deret Aritmatika

Kuis I » ProProfs Quiz Tool

Read More

Kuis Barisan dan Deret Geometri

Kuis I - ProProfs » ProProfs Online Testing

Read More

Kuis Deret Geometri Tak Hingga

Kuis III » Online exam software

Read More